Phép tính của Isaac Newton thực sự bắt đầu vào năm 1665 với việc khám phá ra chuỗi nhị thức tổng quát (1 + x ) n = 1 + n x + n ( n - 1) / 2! ∙ x 2 + n ( n - 1) ( n - 2) / 3! ∙ x 3 + ⋯ với các giá trị hữu tỉ tùy ý của n . Với công thức này, anh ta có thể tìm chuỗi vô hạn cho nhiều hàm đại số (các hàm y của x thỏa mãn một phương trình đa thức p ( x , y) = 0). Ví dụ, (1 + x ) −1 = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + ⋯ và 1 / Căn bậc hai của √ (1 - x 2) = (1 + (- x 2) ) −1/2 = 1 + 1/2 ∙ x 2 + 1 ∙ 3/2 ∙ 4 ∙ x 4+ 1 ∙ 3 ∙ 5/2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ x 6 + ⋯.
Trắc nghiệm Thiên văn và Vũ trụ Trắc nghiệm Phần nhìn thấy được của Mặt trời được gọi là gì? Đổi lại, điều này dẫn Newton đến chuỗi vô hạn cho tích phân của các hàm đại số. Ví dụ, ông lấy logarit bằng cách tích hợp sức mạnh của x trong loạt bài này cho (1 + x ) -1 từng người một, log (1 + x ) = x - x 2/ 2 + x 3/ 3 - x 4 / 4 + x 5/ 5 - x 6/ 6 + ⋯, và hàng loạt nghịch đảo sin bằng cách tích hợp hàng loạt cho 1 gốc / Square của √ (1 - x 2), sin-1 ( x ) = x + 1/ 2 ∙x 3/ 3 + 1 ∙ 3/ 2 ∙ 4 ∙ x 5/ 5 + 1 ∙ 3 ∙ 5/ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ x 7/ 7 + ⋯.
Cuối cùng, Newton đã đăng quang hiệu suất điêu luyện này bằng cách tính chuỗi nghịch đảo của x dưới dạng chuỗi theo lũy thừa của y = log ( x ) và y = sin − 1 ( x ), tìm ra chuỗi số mũ x = 1 + y / 1! + Y 2/ 2! + Y 3/ 3! + Y 4/ 4! + ⋯ và hàng loạt sin x = y - y 3/ 3! + Y 5/ 5! - y 7 /7! + ⋯.
Lưu ý rằng sự phân biệt và tích phân duy nhất mà Newton cần là cho lũy thừa của x , và công việc thực sự liên quan đến phép tính đại số với chuỗi vô hạn. Thật vậy, Newton coi phép tính như là đại số tương tự của số học với số thập phân vô hạn, và ông đã viết trong Tractatus de Methodis Serierum et Fluxionum của mình (1671; “Chuyên luận về Phương pháp Chuỗi và Dòng”):
Tôi ngạc nhiên rằng không ai (nếu bạn ngoại trừ N. Mercator và cầu phương của hyperbola) phù hợp với học thuyết được thiết lập gần đây về số thập phân với các biến, đặc biệt là vì cách này mở ra nhiều hệ quả nổi bật hơn. Vì học thuyết này ở các loài có cùng mối quan hệ với Đại số mà học thuyết về số thập phân phải có trong Số học thông thường, các phép toán Cộng, Trừ, Nhân, Chia và Rút gốc có thể dễ dàng học được từ học thuyết sau.
Đối với Newton, những phép tính như vậy là hình ảnh thu nhỏ của phép tính giải tích. Chúng có thể được tìm thấy trong De Methodis của ông và bản thảo De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669; “Về phân tích bằng phương trình với một số thuật ngữ vô hạn”), mà ông đã viết sau khi loạt bài về logarit của ông được khám phá lại và xuất bản bởi Nicolaus Mercator. Newton chưa bao giờ viết xong cuốn De Methodis , và mặc dù có sự nhiệt tình của một số ít người mà ông cho phép đọc De Analysi , ông đã từ chối nó xuất bản cho đến năm 1711. Tất nhiên, điều này chỉ khiến ông bị tổn thương trong cuộc tranh chấp ưu tiên với Gottfried Wilhelm Leibniz.
